こんばんは。PULSaです。
今回は「ヒルベルトの無限ホテル」について紹介したいと思います。
いったいどういうことなのか、なるべく分かりやすく解説していきます。
まず、部屋数が無限にあるホテルの部屋すべてが満室だとします。
ここで、泊っている人全員に、「今いる（部屋番×２）の部屋」に移動してもらうことにします。（下画像参照）
部屋数は無限にあるため、すべての乗客が移動することができますね。
移動が終わると上図のように、奇数番の部屋が空室になります。
部屋数が無限ということは、奇数番の部屋も無限にあるため、新たに無限人を迎えることができます。
同じ操作を繰り返すことができるので、満室になっていようが何人でも人を泊めることができますよね。
しかし満室だったのに空室を作ることができるというのはどうも直観に反しますよね。
なぜこんな奇妙なことが起こるのでしょうか？
キーワードは「無限集合」です。
「集合」とは、いくつかの要素をまとめたもので、例えば
{2,3,5,7,...}(素数の集合)
{6,12,18,24,...}(6の倍数の集合)
のようなものです。
のようなものです。
無限集合は基数(要素の個数のようなもの)が無限である集合をいいます。
例えば自然数は無限に存在するので、自然数の集合は無限集合です。
また、奇数も無限に存在するので、奇数の集合も無限集合です。
つまり、(ホテルの全部屋数)=(奇数の部屋数)となるため、
無限に空室を作ることができたわけです。
さて、自然数の集合や奇数,偶数の集合などは無限集合であると紹介しましたが、この無限集合はただの無限集合ではなく、「加算無限集合」と言われるものです。
「加算無限集合」の基数はアレフ・ゼロ/アレフ・ヌルといいます。
「加算無限集合」とはその名の通り、「数えるのに無限の時間を要するが、すべての要素を数え上げることができる集合」を指します。
「加算無限集合」が存在するということはもちろん「不加算無限集合」も存在します。
ですが、この話はまた後程。
それでは
↓参考にしたwikiページ↓
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